La morte di Galileo il 6 gennaio 1642, interrompe bruscamente l'attività di Torricelli, che decide di ritornare subito a Roma. E sta già per partire, quando Ferdinando II dei Medici gli propone di restare a Firenze col titolo di "matematico del Granduca di Toscana" e " Lettore di matematica" all'università di Pisa. Questa nomina, immediatamente accettata, segna l'inizio per Torricelli di un periodo di intensa attività, nel corso del quale maturano le soluzioni di numerosi problemi di matematica e di fisica.

Nei lavori di Torricelli possono essere individuate quattro diverse direzioni di ricerca, che coprono la quasi totalità degli argomenti trattati da Galileo, ad eccezione dell'astronomia. Nella prima - la Geometria - Torricelli ottiene risultati notevoli, in particolare, la quadratura della curva cicloidale e la cubatura dell'iperboloide di rivoluzione (solido iperbolico acuto). Egli utilizzò per primo gli indivisibili curvi, contribuendo così allo sviluppo del metodo degli indivisibili introdotto in geometria, com'è noto, da Bonaventura Cavalieri. La stretta collaborazione scientifica fra i due esimi matematici, che furono legati da profonda amicizia, è documentata da un'ampia corrispondenza scientifica.
La seconda direzione di ricerca è costituita - se ci si attiene a questa schematica classificazione - dall'applicazione della geometria allo studio del moto.

L'esperimento barometrico, che conduce all'invenzione del barometro a mercurio, e lo sviluppo delle tecniche di lavorazione dei vetri per i cannocchiali, costituiscono infine due direzioni di ricerca nelle quali Torricelli fa prova di un'abilità paragonabile a quella di un provetto artigiano.
La geometria e le sue applicazioni sono le direzioni nelle quali il genio di Torricelli si manifesta con assoluta sicurezza. L'interesse per i ragionamenti astratti va di pari passo con il rifiuto, più volte manifestato, di lasciarsi imprigionare entro i limiti ristretti di un particolare fenomeno fisico.

Io fingo - così egli scrive all'amico Michelangelo Ricci in una lettera del febbraio 1646 - o suppongo che qualche corpo o punto si muova all'ingiù e all'insù con la nota proporzione et horizzontalmente con moto equabile. Quando questo sia io dico che seguirà tutto quello che ha detto il Galileo, et io ancora. Se poi le palle di piombo, di ferro, di pietra non osservano quella supposta proporzione, suo danno, noi diremo che non parliamo di esse.
Espresse da uno scienziato che impiegava una parte notevole del suo tempo a costruire strumenti destinati allo studio di fenomeni naturali, queste osservazioni potrebbero sembrare a prima vista alquanto singolari. In realtà gli interessi di Torricelli non erano rivolti soltanto verso i ragionamenti astratti. In lui coesistevano, per così dire, due individui: il tecnico, che perfezionava i metodi pratici di fabbricazione dei vetri per cannocchiali senza preoccuparsi degli aspetti teorici del problema; il teorico del moto, che non andava volentieri alla ricerca di prove sperimentali, forse perché non credeva nella prova irrefutabile fornita dall'osservazione diretta dei fenomeni.

La storia della curva cicloide non é facile da riassumere in poche linee. La sua invenzione risalirebbe all'inizio del XVII secolo, secondo quanto afferma Carlo Dati nella Lettera a Filaleti di Timauro Antiate. Della vera storia della cicloide, e della famosissima esperienza dell'argento vivo, pubblicata a Firenze nel 1662. Galileo, sempre secondo Dati, avrebbe studiato questa curva, di cui egli stesso per primo avrebbe avuto l'idea, intorno agli anni 1600. Questa priorità è confermata, come vedremo, dallo stesso Galileo: la scoperta si situerebbe nell'ultimo decennio del XVI secolo.
Dati cita uno scritto di Stefano Degli Angeli del 1661, De superficie ungulae, nel quale l'autore attribuisce a Galileo il merito d'aver immaginato e studiato per primo questa curva particolare e a Torricelli quello di aver calcolato per primo il valore esatto della superficie compresa fra un arco completo di cicloide e la retta fissa. Degli Angeli fonda la sua asserzione su una lettera (di cui egli possiede copia) inviata da Bonaventura Cavalieri a a Galileo il 14 febbraio 1640. Mi sono stati mandati da parigi - scrive Cavalieri - due quesiti da quei matematici circa dei quali temo di farmi poco onore. Fra i quesiti, alcuni concerno appunto la cicloide. Era stato Jean François Niceron a sottometerglieli, in occasione di un soggiorno in Italia. La risposta di Galileo, del 24 febbraio dello stesso anno, chiarisce alcuni punti: Dei quesiti mandatigli di Francia - spiega Galileo - non so che sia stato dimostrato alcuno. Gli ho con lei per difficili molto a essere sciolti. Questa linea arcuata (i.e. la cicloide, N.d.R. ) sono più di 50 anni che mi venne in mente di descriverla [...] per adattarla agli archi di un ponte [...]. Parvemi da principio che lo spazio potesse essere triplo del cerchio che lo descrive, ma non fu così, benchè la differenza non sia molta [...] Ebbi circa un anno fa una scrittura di un padre Mersenno dei Minimi di San Francesco di Paola mandatami da Parigi, ma scrittami in caratteri tali che tutta l'Accademia di Firenze non ne potesse intender tanto che se ne potesse trar costrutto alcuno [...] io risposi all'amico che me la mandò che facesse intendere al detto padre che mi scrivesse in caratteri più intelligibili.

Dati critica violentemente il contenuto di una pubblicazione (dovuta a Blaise Pascal N.d.R.) apparsa in Francia nell'ottobre del 1658, l'Histoire de la Roulette, appelée autrement la Trochoide ou la Cycloide, in cui si sostiene che il padre Marin Mersenne sia stato il primo ad immaginare, verso il 1615, la curva cicloide en considérant le roulement des roues. Dopo aver chiesto la soluzione a Galileo, Mersenne si sarebbe rivolto a Gilles Personnier de Roberval nel 1634 e questi avrebbe dimostrato che l'espace cycloidal est 3pr ². Secondo l'autore dell'Histoire, Roberval avrebbe chiesto a Marsenne di scrivere a tutti i matematici per dir loro che la soluzione era stata trovata (da Roberval), senza tuttavia comunicarla. Più tardi, nel 1635, Mersenne avrebbe inviato la soluzione di Roberval a diversi matematici, chiedendo loro di dimostrarla. Le due sole risposte ricevute, fra di loro diverse, sarebbero state quelle di Pierre de Fermat e di René Descartes. Nel 1638, sempre secondo l'autore dell'Histoire, Jean de Beaugrand avrebbe inviato a Galileo quel che egli sapeva della soluzione, facendo in modo da apparire egli stesso come l'autore delle cose dette. Dopo la morte di Galileo, avvenuta nel gennaio del 1642, Torricelli avrebbe ritrovato, nelle carte lasciate dal Maestro, la soluzione inviata da Beaugrand nel 1638. Questa asserzione contrasta con quanto indicato da Galileo nella lettera del 24 febbraio 1640 citata.
Da sottolineare, infine, che il 23 aprile 1643 Cavalieri scrive a Torricelli e si congratula con lui per la soluzione trovata. Finalmente ho sentito - scrive Cavalieri - nell'ultima sua la misura dello spazio cicloidale con molta mia maraviglia, essendo stato sempre stimato problema di molta difficoltà, che straccò già il Galileo; ed io pure, parendomi assai difficile lo lasciai andare; ond'ella avrà non poca lode di questo, oltre le tante sue maravigliose invenzioni, che le daranno eterna fama. Non resterò poi di dirle intorno a questo, che il Galileo mi scrisse una volta d'averci applicato 40 anni fa, e che non aveva potuto trovar niente; e che s'era persuaso che il detto spazio fosse triplo del circolo suo genitore, ma che poi li pareva che non fosse precisamente, se mal non ricordo, poiché per quanto abbi cercato nelle mie scritture, non ho mai potuto tal lettera ritrovare.

Torricelli fu, senza alcun dubbio, il primo ad aver pubblicato a Firenze nel 1644 la soluzione del problema (in Opera Geometrica, «De dimensione Parabolae, solidique Hyperbolici problemata duo...», p. 85-90). Tre dimostrazioni si trovano in appendice al capitolo indicato, attraverso le quali dimostreremo - scrive Torricelli - con l'aiuto di Dio che [lo spazio cicloidale] é triplo [del cerchio generatore]. La prima e la terza dimostrazione sono condotte con il metodo degli indivisibili, la seconda alla maniera degli antichi, per doppia riduzione all'assurdo. [Torricelli, Opere, a cura di G. Loria e G. Vassura, Faenza 1919, I (1), p. 174; tr. it. a cura di L. Belloni, Torino, UTET, 1975, p. 423]

Torricelli indica innanzi tutto i primi tentativi empirici per misurare gli "spazi materiali" (spatijs figurarum materialibus) delimitati dalla curva cicloidale, e quindi il metodo per costruire la curva stessa.

Diamo qui di seguito il testo italiano del preambolo torricelliano nella traduzione di L. Belloni (cfr. Torricelli, Opere, Torino, UTET,1975, pp. 410-412).

APPENDICE SULLA MISURA DELLA CICLOIDE

Mi piace qui aggiungere, come appendice, la soluzione di un problema interessante che, a prima vista, sembra difficilissimo se se ne considera l'argomento e l'enunciazione. Esso tormentò e sfuggì, molti anni or sono, ai primi matematici del nostro secolo. Infatti, la dimostrazione invano cercata sfuggì dalle loro mani a causa della fallacia dell'esperienza. Appesi infatti ad una libra, costruita a mano, gli spazi materiali delle figure, non sò per quale destino, quella proporzione che in realtà  é tripla, risultò sempre meno che tripla. Avvenne allora che, sospettando trattarsi di grandezze incommesurabili (come credo io) piuttosto che disperando della soluzione, la ricerca intrapesa venne da quei matematici abbandonata.

Ci limitiamo a dare, sempre nella traduzione di Belloni ( cfr ibidem, pp. 412-413), la prima dimostrazione fatta col metodo degli indivisibili.

Teorema I

Lo spazio compreso fra la cicloide e la sua retta di base é triplo del circolo generatore. Ovvero é sesquialtero (Sesquialtero = 1+1/2 N.d.R.) del triangolo, avente la sua stessa base ed altezza.

Sia data la cicloide ABC, descritta dal punto C del circolo CDEF quando ruota sulla base fissa AF. Consideriamo la semicicloide ed il semicircolo soltanto per evitare troppa confusione nella figura. Dico che lo spazio ABCF é triplo del semicircolo CDEF. Ovvero sesquialtero del triangolo ACF.
Si prendano due punti, H ed I, sul diametro CF, egualmente distanti dal centro G. Tracciate HB, IL e CM parallele a FA, passino per i punti B ed L i semicircoli OBP e MLN, eguali a CDF, tangenti alla base nei punti P ed N.

Ora la retta AN é uguale all'arco LN, ovvero all'arco BO, ovvero nscritto ACF, e triplo del semicircolo CDEF. E questo ecc.